Curiosità e significato della soluzione Ellittici

In matematica, e particolarmente nel calcolo integrale, un integrale ellittico è una qualsiasi funzione ${\displaystyle f}$ che può esprimersi nella forma:

${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R(t,P(t))\ dt}$

dove ${\displaystyle R}$ denota una funzione razionale dei suoi due argomenti, ${\displaystyle P}$ è la radice quadrata di un polinomio in una variabile di grado ${\displaystyle 3}$ o ${\displaystyle 4}$ privo di radici multiple e ${\displaystyle c}$ è una costante. La funzione ${\displaystyle R}$ contiene almeno una potenza dispari di ${\displaystyle P}$, mentre ${\displaystyle R^{2}}$ non ha fattori ripetuti.

Il concetto di integrale ellittico è emerso originariamente in connessione con il problema del calcolo della lunghezza degli archi di un'ellisse. I primi ad interessarsene e studiarli sono stati Fagnano ed Eulero.

In generale, gli integrali ellittici non possono essere espressi in termini di funzioni elementari; si hanno eccezioni a questo fatto quando ${\displaystyle P}$ ha radici ripetute, o quando ${\displaystyle R(x,y)}$ non contiene potenze dispari di ${\displaystyle y}$. Comunque, con appropriate riduzioni delle formule ogni integrale ellittico può essere riportato a una forma che coinvolge integrali di funzioni razionali, e le tre forme canoniche: integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Oltre alle forme sopra definite, gli integrali ellittici possono essere espressi nella forma di Legendre e nella forma simmetrica di Carlson. Ulteriori informazioni nella teoria degli integrali incompleti possono essere ricavate tramite l'utilizzo della trasformazione di Schwarz-Christoffel.

Le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici, e in particolare la ${\displaystyle F}$ tale che si abbia ${\displaystyle F({\textrm {sn}}(z;k);k)=z}$, dove ${\displaystyle {\textrm {sn}}}$ denota una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

Italiano

Aggettivo, forma flessa

ellittica f sing (pl.: ellittiche)

1. (matematica) femminile di ellittico
2. (botanica) femminile di ellittico

Sillabazione

el | lìt | ti | ca

Etimologia / Derivazione

vedi ellittico