Curiosità e significato della soluzione Tangenti

Scopri il significato e tutto quello che c'è da sapere sulla soluzione di 8 lettere che serve per completare i tuoi cruciverba. La soluzione Tangenti è utile per risolvere le definizioni enigmistiche:

  1. Bustarelle che corrompono
  2. Le bustarelle in geometria

In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Esso si applica dopo avere determinato un intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} che contiene una sola radice.

Il metodo consiste nel sostituire alla curva y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto; per semplicità si può iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa x t {\displaystyle x_{t}} del punto in cui la tangente interseca l'asse delle x {\displaystyle x} internamente all'intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} .

Procedendo in modo iterativo si dimostra che la relazione di ricorrenza del metodo è

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n ) , {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}},}

che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione y = f ( x ) = 0 {\displaystyle y=f(x)=0} . Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle x n {\displaystyle x_{n}} converge alla radice piuttosto rapidamente.

Più in dettaglio, si dimostra che se f C 2 ( I ) {\displaystyle f\in C^{2}(I)} dove I {\displaystyle I} è un opportuno intorno dello zero a {\displaystyle \alpha } con f ' ( a ) 0 {\displaystyle f'(\alpha )\neq 0} e se x 0 I , {\displaystyle x_{0}\in I,} allora

lim n + 8 a - x n + 1 ( a - x n ) 2 = - f " ( a ) 2 f ' ( a ) , {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {\alpha -x_{n+1}}{(\alpha -x_{n})^{2}}}=-{\frac {f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}},}

cioè la convergenza è quadratica (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché locale (cioè non vale per ogni I {\displaystyle I} ). Se invece la radice è multipla, cioè f ' ( a ) = 0 {\displaystyle f'(\alpha )=0} allora la convergenza è lineare (più lenta). Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita t {\displaystyle \tau } , il procedimento iterativo si fa terminare quando | x n + 1 - x n | < t · | x n + 1 | . {\displaystyle \left|x_{n+1}-x_{n}\right|<\tau \cdot |x_{n+1}|.}

Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando f ' ( x ) {\displaystyle f'(x)} varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che f ' ( x ) {\displaystyle f'(x)} sia disponibile direttamente per un dato x {\displaystyle x} . Nei casi in cui questo non si verifichi e risultasse necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il metodo della secante.

Italiano

Sostantivo, forma flessa

tangenti f plur

  1. plurale di tangente

Aggettivo, forma flessa

tangenti

  1. maschile e femminile plurale di tangente

Sillabazione

tan | gén | ti

Pronuncia

IPA: /tan'dnti/

Etimologia / Derivazione

  • vedi tangente